Perwakilan kanonik integer positif

Setiap integer positif n > 1 boleh diwakilkan dalam hanya satu cara sebagai hasil darab nombor perdana dengan kuasa:

n = p 1 α 1 p 2 α 2 ⋯ p k α k = ∏ i = 1 k p i α i {\displaystyle n=p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}\cdots p_{k}^{\alpha _{k}}=\prod _{i=1}^{k}p_{i}^{\alpha _{i}}}

di mana p1 < p2 < ... < pk adalah nombor perdana dan αi adalah integer positif. Perwakilan ini biasanya dilanjutkan untuk semua integer positif, termasuk satu, melalui persetujuan bahawa hasil darab kosong adalah sama dengan 1 (hasil darab kosong sepadan dengan k = 0).

Perwakilan ini dinamakan perwakilan kanonik[6] untuk n, atau bentuk piawai[7][8] bagi n.

Misalnya 999 = 33 × 37, 1000 = 23 × 53, 1001 = 7 × 11 × 13

Perhatikan bahawa faktor-faktor p0 = 1 boleh diletakkan tanpa mengubah nilai n (contohnya, 1000 = 23 × 30 × 53). Malah, sebarang integer positif boleh diwakili secara unik sebagai satu hasil darab tak terhingga semua nombor perdana positif,

n = 2 n 1 3 n 2 5 n 3 7 n 4 ⋯ = ∏ p i n i , {\displaystyle n=2^{n_{1}}3^{n_{2}}5^{n_{3}}7^{n_{4}}\cdots =\prod p_{i}^{n_{i}},}

di mana sejumlah terhad ni adalah integer positif, dan selebihnya adalah sifar. Dengan membolehkan eksponen bernilai negatif, nombor-nombor nisbah positif juga boleh diwakili bentuk kanonik.

Operasi aritmetik

Perwakilan kanonik, jika diketahui bentuknya, dapat memudahkan pengiraan hasil darab, pembahagi sepunya terbesar (gcd) dan gandaan sepunya terkecil (lcm):

a ⋅ b = 2 a 2 + b 2 3 a 3 + b 3 5 a 5 + b 5 7 a 7 + b 7 ⋯ = ∏ p i a p i + b p i , {\displaystyle a\cdot b=2^{a_{2}+b_{2}}\,3^{a_{3}+b_{3}}\,5^{a_{5}+b_{5}}\,7^{a_{7}+b_{7}}\cdots =\prod p_{i}^{a_{p_{i}}+b_{p_{i}}},} gcd ( a , b ) = 2 min ( a 2 , b 2 ) 3 min ( a 3 , b 3 ) 5 min ( a 5 , b 5 ) 7 min ( a 7 , b 7 ) ⋯ = ∏ p i min ( a p i , b p i ) , {\displaystyle \gcd(a,b)=2^{\min(a_{2},b_{2})}\,3^{\min(a_{3},b_{3})}\,5^{\min(a_{5},b_{5})}\,7^{\min(a_{7},b_{7})}\cdots =\prod p_{i}^{\min(a_{p_{i}},b_{p_{i}})},} lcm ⁡ ( a , b ) = 2 max ( a 2 , b 2 ) 3 max ( a 3 , b 3 ) 5 max ( a 5 , b 5 ) 7 max ( a 7 , b 7 ) ⋯ = ∏ p i max ( a p i , b p i ) . {\displaystyle \operatorname {lcm} (a,b)=2^{\max(a_{2},b_{2})}\,3^{\max(a_{3},b_{3})}\,5^{\max(a_{5},b_{5})}\,7^{\max(a_{7},b_{7})}\cdots =\prod p_{i}^{\max(a_{p_{i}},b_{p_{i}})}.}

Namun, oleh sebab pemfaktoran integer bagi integer-integer besar adalah lebih sukar daripada pengiraan hasil darab, gcd atau lcm angka-angka tersebut, formula-formula di atas tidak banyak digunakan pada praktiknya.

Fungsi aritmetik

Pelbagai fungsi aritmetik ditakrifkan menggunakan perlambangan kanonik. Khususnya, nilai-nilai fungsi-fungsi bertambahan dan berdaraban ditentukan oleh nilai-nilainya pada kuasa nombor-nombor perdana.